Konstitutive Gleichungen der Piezoelektrizität

In der linearen Theorie des piezoelektrischen Effektes wurde eine Beschreibung des Kleinsignalverhalten entwickelt (zum Weiterlesen siehe * 1 * 2). Diese Theorie umfasst weder nichtlineare Effekte noch die Hysterese piezoelektrischer Werkstoffe, die vor allem im Großsignalbereich prägnant ist. Die linearen Gleichungen sind jedochäußerst wertvoll, da sie ein gutes Verständnis der Physik von Piezoaktoren vermittelt. Für Aktuatoren müssen effektive Großsignalparameter angewendet werden. Das Verhalten von Piezoaktuatoren (inverser Effekt) kann mathematisch in Matrixschreibweise wie folgt beschrieben werden:

 

Sj = dij Ei

 

Sj ist die Belastung (in m pro m), dij ist der piezoelektrische Ladungskoeffizient (m/V) Ei das elektrische Feld (in V/m). Typische Werte für die maximale Belastung beträgt 0,2% bei einem elektrischen Feld von 2 kV / mm. Die Indizes i und j zeigen die Richtung an. Für Stapelaktuatoren ist die Richtung des angelegten Feldes sowie die der Dehnung die Stapelachse, die üblicherweise durch den Index 3 angegeben ist. Somit sind die relevanten Materialparameter der d33-Koeffizient und die Dehnung S3 ist gleich d33 x E3. In der weiteren Diskussion wird die Matrix-Schreibweise anhand skalarer Gleichungen vereinfacht dargestellt.

Es ist offensichtlich, dass die piezoelektrischen Aktuatoren zwei Phänomene beinhalten: die Mechanik eines festen Körpers und das dielektrische Verhalten eines Kondensators. In der ersten Instanz, werden beide Aspekte entkoppelt beschrieben. Das bedeutet, dass entweder der elektrische Zustand (z.B. Anschlüsse eines Piezostapelaktuators sind kurzgeschlossen) oder der mechanischen Zustand ist konstant gehalten wird (z.B. ist der Aktuator ideal fest eingespannt und die Länge ist unveränderlich). Die mechanische konstitutive Gleichung, die für Piezomaterialien (auch als Hookesches Gesetz bekannt) lautet:

  

S = s T

 

In Worten, diese Gleichung besagt: Dehnung = Nachgiebigkeit × Belastungsdruck Diese Formel kann für die Verformung des Stellgliedkörpers angewendet werden:

 

x = s A / l F

 

In Worten, diese Gleichung besagt: Verschiebung x ist gleich Nachgiebigkeit mal Grundfläche geteilt durch Höhe und Kraft.

Piezoelektrische Materialien sind mit elektrischen Eigenschaften versehen. Wir müssen die Zustandsgleichung für gängige Dielektrika heranziehen:

D = eps E

In Worten: Diese Gleichung lautet: Ladungsdichte = Dielektrizitätskonstante × Elektrisches Feld.

Diese Formel kann für einen piezoelektrischen Aktuatorkörper umgewandelt werden:

Q = eps A / l = C U

In Worten, diese Gleichung bestimmt: Ladung = Dielektrizitätskonstante x Grundfläche geteilt durch Höhe und Elektrisches Feld gleich dem Produkt der elektrischen Kapazität und der Spannung.

Für piezoelektrische Materialien müssen diese beiden konstitutiven Gleichungen in eine gekoppelte Gleichung angewandt werden, die sich wie folgt schreibt:

S = S T + D E

D = d + e T E

 

Die Parameter eines Piezobauteils, welche die mechanische Steifigkeit k, Kraft F, Ladung Q sind, können aus den obigen Gleichungen berechnet werden. Die beobachtbaren Größen an den Anschlussklemmen des Aktuators sind die elektrische Spannung U, die Länge, Weg, Kraft und der elektrische Strom. Die elektrische Ladung Q, welche grundlegend wichtig für den Piezo-Effekt ist, wird erst durch das Zeitintegral des elektrischen Stroms beobachtbar:

 

Q = Integral I dt

 

Folglich manifestiert sich der elektromechanische Kopplungsmechanismus in einer linearen Beziehung zwischen der Geschwindigkeit der Längenänderung und und des elektrischen Stroms.as elastische Verhalten des Körpers (Kontraktion als Reaktion auf Druckkräfte) wird durch den piezoelektrische Verformungseffekt überlagert (interne elektrische Kräfte verursachen Dehnung). Auch ist die elektrische Ladung des Piezo, die durch einen Kondensator dargestellt ist, die Summe von zwei Termen: 1) Laden eines Kondensators C durch eine angelegte elektrische Spannung U und 2) eine Ladung, die durch die Verformung der piezoelektrischen Kristalle durch die aufgebrachte Kraft bewirkt wird.

In der nächsten Abbildung wird die Kopplung von elektrischen und mechanischen Phänomenen durch den Piezoeffekt veranschaulicht.

Wenn ein Problem einer dreidimensionalen Analyse  bedarf, können die piezoelektrischen Kopplungsglieder in einer Matrixdarstellung d formuliert werden. 

 

* 1 Cady, WG, Piezoelektrizität, McGraw Hill, New York (1946)

 

* 2 Cook & H Jaffe, piezoelektrische Keramiken, Academic Press, London (1971)